Prime k-tuple

Prime k-tupleとは、p_nをn番目の素数とすると、p_{n k−1} − p_nが最小になるk個の素数の組のことをいう。

名前付きパターン

最短のk-tupleのいくつかは、他の一般名で知られている。

許容性

k-tupleがそのすべての値が素数である無限に多くの位置を持つために、tupleがpを法とするすべての異なる可能な値を含むような素数pが存在することはできない。なぜなら、そのような素数pが存在する場合、nのどの値が選択されても、tupleにnを追加することによって形成される値の1つはpで割り切れるので、素数の配置は有限にしか存在できない (pを含むもののみ)。たとえば、k-tupleは、3を法とする0、1、および2の3つの値すべてを取ることはできない。そうしないと、結果の数値には常に3の倍数が含まれるため、数値の1つが3自体でない限り、すべてが素数になることはない。この条件を満たすk-tuple (つまり、 pを法とするすべての異なる値をカバーするpがない)は、許容可能と呼ばれる。

例えば、(n, n 1) のうち1つは2の倍数なので、許容可能なPrime 2-tuple (双子素数)は、(p, p 2)である。
(n, n 2, n 4) のうち1つは3の倍数なので、許容可能なPrime 3-tuple (三つ子素数)は、(p, p 2, p 6), (p, p 4, p 6)である。

すべての許容可能なPrime k-tupleは、無数に存在するだろうと予想されている。ただし、Prime 1-tupleを除いて、これが証明されている許容可能なPrime k-tupleはない。

最小のPrime k-tuple

最初のいくつかのPrime k-tupleは次のとおりである。dは、p_nをn番目の素数とすると、d = p_{n k−1} − p_nで、許容可能であるものとする。

kの関数としてのdは、オンライン整数列大辞典の数列 A008407である。

等差数列の素数

(0, n, 2n, 3n, …, (k − 1)n) の形式のPrime k-tupleは、素数等差数列と呼ばれる。そのようなPrime k-tupleが許容性を満たすためには、nはkの素数階乗の倍数でなければならない。

Prime k-tupleの例

nを0以上の整数とする。

(3, 5) を除く全ての双子素数 (Prime 2-tuple)は (6n 5, 6n 7) の形である。
- また、(3, 5), (5, 7) を除く全ての双子素数は
  (30n 11, 30n 13),
  (30n 17, 30n 19),
  (30n 29, 30n 31)
  の形である。
(5, 7, 11, 13) を除く全ての四つ子素数 (Prime 4-tuple)は (30n 11, 30n 13, 30n 17, 30n 19) の形である。
- また、(5, 7, 11, 13) を除く全ての四つ子素数は
  (210n 11, 210n 13, 210n 17, 210n 19),
  (210n 101, 210n 103, 210n 107, 210n 109),
  (210n 191, 210n 193, 210n 197, 210n 199)
  の形である。
(7, 11, 13, 17, 19, 23) を除く全ての六つ子素数 (Prime 6-tuple)は
(210n 97, 210n 101, 210n 103, 210n 107, 210n 109, 210n 113) の形である。
- また、(7, 11, 13, 17, 19, 23) を除く全ての六つ子素数は
  (2310n 97, 2310n 101, 2310n 103, 2310n 107, 2310n 109, 2310n 113),
  (2310n 937, 2310n 941, 2310n 943, 2310n 947, 2310n 949, 2310n 953),
  (2310n 1147, 2310n 1151, 2310n 1153, 2310n 1157, 2310n 1159, 2310n 1163),
  (2310n 1357, 2310n 1361, 2310n 1363, 2310n 1367, 2310n 1369, 2310n 1373),
  (2310n 2197, 2310n 2201, 2310n 2203, 2310n 2207, 2310n 2209, 2310n 2213)
  の形である。

名前付きパターン

許容性

最小のPrime k-tuple

等差数列の素数

Prime k-tupleの例

関連項目